解放軍文職招聘考試北宋時(shí)期的數(shù)學(xué)成就-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:27:33北宋時(shí)期的數(shù)學(xué)成就一、賈憲的增乘開(kāi)方法賈憲生活于11世紀(jì)，是天算家楚衍的學(xué)生．楚衍有兩名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是賈憲，在朝中任左班殿值．賈憲對(duì)《九章算術(shù)》深有研究，曾著《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》，還著有《釋鎖》算書(shū)，均佚．但兩書(shū)的部分內(nèi)容，保存在楊輝《詳解九章算法》中．《詳解九章算法 纂類(lèi)》所載的賈憲增乘開(kāi)方法，是中算史上第一個(gè)完整的、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序(原載《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》)．例如 令有積一百八十六萬(wàn)八百六十七尺，問(wèn)為立方幾何？ 此題相當(dāng)于求方程x3 ＝1860867的正根．按賈憲方法(參見(jiàn)圖8．1)：(1)實(shí)上商置第一位得數(shù)．(2)以上商乘下法置廉，乘廉為方，除實(shí)訖．(3)復(fù)以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商數(shù)之次，復(fù)商第二位得數(shù)，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實(shí)訖．(6)復(fù)以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得數(shù)，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實(shí)適盡，得立方一面之?dāng)?shù)．很明顯，求得方根第一位后，求下面每一位的步驟都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步驟，(6)(7)(8)是求第三位的步驟，依此類(lèi)推．如果是開(kāi)平方，則開(kāi)方式無(wú)廉；如果是開(kāi)四次方或四次雙方以上，則在方和下法間加廉，稱(chēng)一廉、二廉 ，開(kāi)方步驟與開(kāi)立方一致．在增乘開(kāi)方法基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了 開(kāi)方作法本源圖 (原載《釋鎖》，存于楊輝《詳解九章算法》)即賈憲三角形(圖8．2)，實(shí)際是世界上最早的二項(xiàng)式定理系數(shù)表．雖然該表到六次方止(末行為(a＋b)6的系數(shù))，但表中數(shù)字是有規(guī)律的，每個(gè)數(shù)都是它肩上兩數(shù)之和，可按此規(guī)律向下無(wú)限延伸(朱世杰便推廣到八次方，即增加兩行)．所以它是一般性的．二、劉益的正負(fù)開(kāi)方術(shù)劉益是中山(今河北定縣)人，生活年代可能比賈憲稍晚．著有《議古根源》，已失傳．該書(shū)的部分內(nèi)容保存在楊輝《田畝比類(lèi)乘除捷法》里．從中可以看出，劉益把增乘開(kāi)方法推廣為正負(fù)開(kāi)方術(shù)．賈憲的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B為正有理數(shù))，劉益則研究了一般的高次方程，如-5x4＋52x3＋128x2＝4096．在劉益的方程中，未知數(shù)系數(shù)可正可負(fù)，故曰 正負(fù)開(kāi)方術(shù) ．例如要求方程-5x2+228x＝2592的正根，先擺算式如圖8．3(1)，然后把方和隅向左移動(dòng)，方每步移一位，隅每步移二位，本題只須各移一步．開(kāi)方過(guò)程如p241圖8．3(開(kāi)方式下面為相應(yīng)的演草)．劉益的正負(fù)開(kāi)方術(shù)是可以推廣到任意次方程的，所以說(shuō)他的工作奠定了高次方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)．不過(guò)，劉益的思想也有局限性，他求解的方程的常數(shù)項(xiàng)僅限于正數(shù)，這一點(diǎn)同賈憲一樣．這種限制，直到李冶時(shí)代才取消．三、沈括的數(shù)學(xué)成就沈括(1030---1094)，北宋科學(xué)家，字存中，號(hào)夢(mèng)溪，錢(qián)塘(今杭州)人．進(jìn)士及第后，初任館閣?？?，后任太子中允，提舉司天監(jiān)．王安石變法期間，沈括曾任 權(quán)三司使 (主管財(cái)政)、 判軍器監(jiān) 等要職，時(shí)常出京察訪各地的新政實(shí)施情況，積極參與變法運(yùn)動(dòng)．沈括一生論著極多，據(jù)《宋史 藝文志》所錄有22種155卷，流傳至今的有5種64卷．其中《夢(mèng)溪筆談》(26卷)是沈括晚年定居鎮(zhèn)江時(shí)，將一生見(jiàn)聞及研究心得以筆記形式寫(xiě)成的著作．書(shū)中的科學(xué)內(nèi)容相當(dāng)豐富，被著名科學(xué)史家李約瑟(J．Needham，1900---1995)譽(yù)為 中國(guó)科學(xué)史的里程碑 ．沈括在討論數(shù)學(xué)起源時(shí)說(shuō)： 大凡物有定形，形有真數(shù)．方圓端斜，定形也；乘除相 ，無(wú)所附益，泯然冥會(huì)者，真數(shù)也． 這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)來(lái)源于客觀存在的形和數(shù)，形是物體的特有形狀而數(shù)是從形中抽象出來(lái)并能反映形的 真數(shù) ．那么，數(shù)是怎樣被人認(rèn)識(shí)的呢？沈括認(rèn)為首先要靠實(shí)踐： 予占天候景，以至驗(yàn)于儀象，考數(shù)下漏，凡十余年，方粗見(jiàn)真數(shù)． 但只有實(shí)踐還不行，沈括說(shuō)： 耳目能受而不能擇，擇之者心也． 意思是人們通過(guò)感官來(lái)接受客觀世界的信息，但不能靠感官去辨別，必須依靠思維，才能由此及彼，由表及里，形成對(duì)數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)．這些看法是很精辟的．沈括的主要數(shù)學(xué)成就有兩項(xiàng)---會(huì)圓術(shù)和隙積術(shù)．會(huì)圓術(shù)所解決的是由弦求弧問(wèn)題．如圖8．4，沈括得到以下公式(1)式顯然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算術(shù)》所載弓形面積公式的基礎(chǔ)上，憑借以直代曲的極限思想得出的．沈括的會(huì)圓術(shù)問(wèn)世后，收到明顯的社會(huì)效益．著名的《授時(shí)歷》中，使用此術(shù)解決了一個(gè)重要的天文問(wèn)題 太陽(yáng)的赤道坐標(biāo)與黃道坐標(biāo)的變換．所謂隙積，即 積之有隙 者，如累棋、層壇之類(lèi)，這種長(zhǎng)方臺(tái)形狀的垛積，實(shí)際是二階等差級(jí)數(shù)．設(shè)隙積共n層，上底由a b個(gè)物體組成，以下各層的長(zhǎng)、寬依次各增加一個(gè)物體，最下層(即下底)由c d個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式如下：沈括的工作開(kāi)了研究高階等差級(jí)數(shù)的先河．關(guān)于此式的由來(lái)，后人有各種推測(cè)，尚無(wú)定論．但有一點(diǎn)是肯定的：這一精確公式不可能從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái)，一定是邏輯推理的結(jié)果．四、從條段法到天元術(shù)方程理論是宋元數(shù)學(xué)發(fā)展的主流．列方程的重要方法---天元術(shù)，便產(chǎn)生于北宋，而其淵源則為條段法．條段法亦稱(chēng)演段法，是推導(dǎo)方程的幾何方法．劉益《議古根源》通過(guò)平面圖形的分割拼補(bǔ)尋找等量關(guān)系，求得方程各項(xiàng)系數(shù)．因推演中常將各量表示成一段段條形面積，故名．北宋數(shù)學(xué)家蔣周亦用條段法推導(dǎo)方程．蔣周，平陽(yáng)(今山西臨汾)人，生活于11世紀(jì)．著有《益古集》，已失傳，書(shū)中部分內(nèi)容存于李冶《益古演段》．從書(shū)中題目來(lái)看，蔣周的方法比劉益更接近天元術(shù)，因?yàn)樗脤ふ液兴罅康牡戎刀囗?xiàng)式，然后把兩個(gè)多項(xiàng)式連為方程．例如第33題(按《益古演段》順序)： 今有圓田一段，中心有直池水占之，外計(jì)地七千三百步．只云并內(nèi)池長(zhǎng)闊，少田徑五十五步，闊不及長(zhǎng)三十五步．問(wèn)三事(指池長(zhǎng)、池闊、圓徑)各多少？ (圖8．5)令圓徑為d，直池長(zhǎng)a闊b，圓積S1，3d2－4 7300＝4S． (1)這便得到一個(gè)等于4S的多項(xiàng)式，下面再設(shè)法得到等于4S的另一多項(xiàng)式．因?yàn)閐－55＝a＋b，所以(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，即 (d-55)2-352＝4S． (2)把兩個(gè)等于4S的多項(xiàng)式連起來(lái)，便得方程3d2-4 7300＝(d-55)2-352．(1)式和(2)式中的4S并非所求，蔣周只是通過(guò)它得到兩個(gè)等值多項(xiàng)式，在建立方程時(shí)便把它們消掉了．這種思想是天元術(shù)中不可缺少的．但條段法有著明顯的局限性．首先，由于沒(méi)有設(shè)未知數(shù)的步驟，不是把未知數(shù)用統(tǒng)一符號(hào)表示出來(lái)，再尋找它和已知量的關(guān)系，而是在解題過(guò)程中去找含有所求量的等式，這便增加了思維的復(fù)雜性．其次，條段法只能列出二次方程，因?yàn)楦哂诙蔚姆匠毯茈y用面積來(lái)表示．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展迫切需要一種簡(jiǎn)便的、能建立高次方程的一般方法，天元術(shù)便應(yīng)運(yùn)而生了．天元術(shù)是一種列方程的代數(shù)方法，因稱(chēng)未知數(shù)為天元，故名．從現(xiàn)存古算書(shū)分析，洞淵無(wú)疑是天元術(shù)的先驅(qū)者之一．洞淵生活于11世紀(jì)，所著算書(shū)早已亡佚．但李冶《測(cè)圓海鏡》中保存了洞淵九容公式，即九種求勾股容圓直徑的方法．洞淵的天元術(shù)便以這些公式為出發(fā)點(diǎn)．《測(cè)圓海鏡》保存了洞淵的兩道算題，即卷十一第十七題和第十八題．這兩題所得均為四次方程，不僅次數(shù)高于蔣周的方程，更重要的是有了 立天元一 (即設(shè)未知數(shù)x)的明確步驟．把各種各樣的未知數(shù)用統(tǒng)一符號(hào)表示，讓它像已知量一樣參與運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)思想上的突破．在第十七題中，洞淵得到后，便把各項(xiàng)中x的冪提高兩次，成為-4x4 -600x3 -22500x2+11681280x+788486400=0．這說(shuō)明他已懂得用分母中未知數(shù)的最高次冪去乘分式方程各項(xiàng)，從而化分式方程為整式方程．在洞淵的方程中，x的冪具有純代數(shù)意義，而不再拘泥于它的幾何解釋?zhuān)@正是天元術(shù)高于條段法之處，也是方程向高次發(fā)展的基礎(chǔ)．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 20:27:55中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在宋元時(shí)期達(dá)到高峰，以后漸走下坡路．20世紀(jì)重登世界數(shù)學(xué)舞臺(tái)的中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，主要是在西方數(shù)學(xué)影響下進(jìn)行的．西方數(shù)學(xué)比較完整地傳入中國(guó)，當(dāng)以徐光啟(1562 1633)和利瑪竇(Mattao Ricci， 1552 1610)翻譯出版《幾何原本》前六卷為肇始，時(shí)在1607年．清朝初年的康熙帝玄燁(1654 1722)，曾相當(dāng)重視數(shù)學(xué)，邀請(qǐng)西方傳教士進(jìn)宮講解幾何學(xué)、測(cè)量術(shù)和歷法，但只是曇花一現(xiàn)．鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)之后，中國(guó)門(mén)戶(hù)洞開(kāi)，再次大規(guī)模吸收西方數(shù)學(xué)，其主要代表人物是李善蘭(1811 1882)．他熟悉中國(guó)古代算學(xué)，又善于汲取西方數(shù)學(xué)的思想．1859年，李善蘭和英國(guó)教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815 1887)合譯美國(guó)數(shù)學(xué)家魯米斯(Elias Loomis， 1811 1889)所著的《代微積拾級(jí)》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微積分學(xué)思想首次在中國(guó)傳播，并影響日本．李善蘭在組合數(shù)學(xué)方面很有成就．著稱(chēng)于世的有李善蘭恒等式：1866年，北京同文館增設(shè)天文算學(xué)館，聘李善蘭為第一位數(shù)學(xué)教習(xí)．由于清廷政治腐敗，數(shù)學(xué)發(fā)展十分緩慢．反觀日本，則是后來(lái)居上．日本在1870年代還向中國(guó)學(xué)習(xí)算學(xué)，《代微積拾級(jí)》是當(dāng)時(shí)日本所能找到的最好的微積分著作．但到1894年的甲午戰(zhàn)爭(zhēng)之后，中日數(shù)學(xué)實(shí)力發(fā)生逆轉(zhuǎn)． 1898年，中國(guó)向日本大量派遣留學(xué)生，其中也包括數(shù)學(xué)方面的留學(xué)生．1911年辛亥革命之前，有三位留學(xué)國(guó)外的數(shù)學(xué)家最負(fù)盛名．第一位是馮祖荀(1880 1940)，浙江杭縣人．1904年去日本京都第一高等學(xué)校就讀，然后升入京都帝國(guó)大學(xué)研修數(shù)學(xué)．回國(guó)后曾在北京大學(xué)長(zhǎng)期擔(dān)任數(shù)學(xué)系系主任．第二位是秦汾(1887 1971)，江蘇嘉定人．1907年和1909年在哈佛大學(xué)獲學(xué)士和碩士學(xué)位．回國(guó)后寫(xiě)過(guò)許多數(shù)學(xué)教材．擔(dān)任北京大學(xué)理科學(xué)長(zhǎng)及東南大學(xué)校長(zhǎng)之后，棄學(xué)從政，任過(guò)財(cái)政部次長(zhǎng)等．鄭桐蓀(1887 1963)在美國(guó)康奈爾大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位(1907)，以后在創(chuàng)建清華大學(xué)數(shù)學(xué)系時(shí)頗有貢獻(xiàn)．由于1908年美國(guó)退回部分庚子賠款，用于青年學(xué)生到美國(guó)學(xué)習(xí)．因此，中國(guó)最早的數(shù)學(xué)博士多在美國(guó)獲得．胡明復(fù)(1891 1927)于1917年以論文 具邊界條件的線性微積分方程 (Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位，是中國(guó)以現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究獲博士學(xué)位的第一人．他返國(guó)后辦大同大學(xué)，參與《科學(xué)》雜志的編輯，很有聲望，惜因溺水早逝．1918年，姜立夫(1890 1978)亦在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位，專(zhuān)長(zhǎng)幾何．他回國(guó)后辦南開(kāi)大學(xué)，人才輩出，如陳省身、江澤涵、吳大任等，姜立夫是中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)，曾任中央研究院數(shù)學(xué)研究所首任所長(zhǎng)．本世紀(jì)20年代，中國(guó)各地的大學(xué)紛紛創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系．自國(guó)外留學(xué)回來(lái)的數(shù)學(xué)家擔(dān)任教授，開(kāi)始培養(yǎng)中國(guó)自己的現(xiàn)代數(shù)學(xué)人才．其中比較著名的有熊慶來(lái)(1893 1969)，1913年赴法國(guó)學(xué)采礦，后改攻數(shù)學(xué)．1921年回國(guó)后在東南大學(xué)、清華大學(xué)等校任數(shù)學(xué)教授，聲譽(yù)卓著．1931年再度去法國(guó)留學(xué)，獲博士學(xué)位(1933)，以研究無(wú)窮級(jí)整函數(shù)與亞純函數(shù)而聞名于世．陳建功(1893 1971)和蘇步青(1902一)先后畢業(yè)于日本東北帝國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)系．他們分別于1930年和1931年回國(guó)，在浙江大學(xué)擔(dān)任數(shù)學(xué)教授．由于銳意進(jìn)取，培植青年，使浙江大學(xué)成為我國(guó)南方最重要的數(shù)學(xué)中心．陳建功以研究三角函數(shù)論、單葉函數(shù)論及函數(shù)逼近論著稱(chēng)．他在1928年發(fā)表的《關(guān)于具有絕對(duì)收斂傅里葉級(jí)數(shù)的函數(shù)類(lèi)》，指出：有絕對(duì)收斂三角級(jí)數(shù)的函數(shù)的充要條件是楊(Young)氏函數(shù)，此結(jié)果與英國(guó)數(shù)學(xué)大家哈代(G．H．Hardy)和李特爾伍德(J． E． Littlewood)同時(shí)得到．這可以標(biāo)志中國(guó)數(shù)學(xué)研究的論文已能達(dá)到國(guó)際水平．蘇步青以研究射影微分幾何而著稱(chēng)于世．他的一系列著作《射影曲線概論》，《一般空間微分幾何》、《射影曲面概論》等，在國(guó)內(nèi)外都產(chǎn)生相當(dāng)影響，曾被稱(chēng)為中國(guó)的微分幾何學(xué)派．1952年，他們從浙江大學(xué)轉(zhuǎn)到上海復(fù)旦大學(xué)，使復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基地．1930年前后，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系居于中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的中心地位．系主任是熊慶來(lái)，鄭桐蓀是資深教授．另外兩位教授都在1928年畢業(yè)于美國(guó)芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，獲博士學(xué)位．其中孫光遠(yuǎn)(1897 1984)專(zhuān)長(zhǎng)微分幾何，他招收了中國(guó)的第一名數(shù)學(xué)碩士生(陳省身)，楊武之(1898 1975)則專(zhuān)長(zhǎng)代數(shù)和數(shù)論，以研究華林(Waring)問(wèn)題著稱(chēng)．這時(shí)的清華，有兩個(gè)杰出的青年學(xué)者，這就是來(lái)自南開(kāi)大學(xué)的陳省身和自學(xué)成才的華羅庚．陳身省于1911年生于浙江嘉興．1926年入南開(kāi)大學(xué)，1930年畢業(yè)后轉(zhuǎn)到清華，翌年成為孫光遠(yuǎn)的研究生，專(zhuān)習(xí)微分幾何．1934年去漢堡大學(xué)，在布拉士開(kāi)(W．Bla-schke)指導(dǎo)下獲博士學(xué)位(1936)，旋去巴黎，在嘉當(dāng)(E．Cartan)處進(jìn)行訪問(wèn)，得其精華．1937年回國(guó)后在西南聯(lián)大任教．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期，受外爾(H．Weyl)之邀到美國(guó)普林斯頓高等研究院從事研究，以解決高維的高斯 邦內(nèi)(Gauss Bonnet)公式，提出后來(lái)被稱(chēng)為 陳省身類(lèi) 的重要不變量，為整體微分幾何奠定基礎(chǔ)，其影響遍及整個(gè)數(shù)學(xué)．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后返國(guó)，任中央研究院數(shù)學(xué)研究所代理所長(zhǎng)，培植青年數(shù)學(xué)家．1949年去美國(guó)．1983年獲世界5高數(shù)學(xué)獎(jiǎng)之一的沃爾夫獎(jiǎng)(WilfPrize)．華羅庚(1910 1985)是傳奇式的數(shù)學(xué)家．他自學(xué)成才，1929年他只是江蘇金壇中學(xué)的一名職員，卻發(fā)表了《蘇家駒之代數(shù)的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清華大學(xué)數(shù)學(xué)教授們的注意，系主任熊慶來(lái)遂聘他到清華任數(shù)學(xué)系的文書(shū)，華羅庚最初隨楊武之學(xué)習(xí)數(shù)論，在華林問(wèn)題上很快作出了成果，破例被聘為教員．1936年去英國(guó)劍橋大學(xué)，接受哈代的指導(dǎo)．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期，華羅庚寫(xiě)成《堆壘素?cái)?shù)論》，系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進(jìn)了哈代與李特爾伍德的圓法，維諾格拉多夫(И．М．Виноградов)的三角和估計(jì)方法，以及他本人的方法．發(fā)表至今已40年，主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，仍是一部世界數(shù)學(xué)名著．戰(zhàn)后曾去美國(guó)．1950年返回中國(guó)，擔(dān)任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的所長(zhǎng)．他在數(shù)論，代數(shù)，矩陣幾何，多復(fù)變函數(shù)論以及普及數(shù)學(xué)上的成就，使他成為世界級(jí)的著名數(shù)學(xué)家．他的名字在中國(guó)更是家喻戶(hù)曉，成為 聰敏 、 勤奮 的同義語(yǔ)．三十年代初的清華大學(xué)，匯集了許多優(yōu)秀的青年學(xué)者．在數(shù)學(xué)系先后就讀的有柯召(1910 )，許寶騄(1910 1970)，段學(xué)復(fù)(1914 )，徐賢修(1911 )，以及物理系畢業(yè)、研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的林家翹(1916 )等等，后來(lái)均成為中國(guó)數(shù)學(xué)的中堅(jiān)以及世界著名數(shù)學(xué)家．許寶騄是中國(guó)早期從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論研究，并達(dá)到世界先進(jìn)水平的一位杰出學(xué)者．1938 1945年間，他在多元分析與統(tǒng)計(jì)推斷方面發(fā)表了一系列論文，以出色的矩陣變換技巧，推進(jìn)了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，他對(duì)高斯 馬爾可夫模型中方差的最優(yōu)估計(jì)的研究，是許多研究工作的出發(fā)點(diǎn)．50年代以來(lái)，為培養(yǎng)新中國(guó)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)者和開(kāi)展概率統(tǒng)計(jì)研究作出許多貢獻(xiàn)．林家翹是應(yīng)用數(shù)學(xué)家，清華大學(xué)畢業(yè)后去加拿大，美國(guó)留學(xué)．從師流體力學(xué)大師馮 卡門(mén)(von Karman)．1944年，他成功地解決了爭(zhēng)論多年的平行平板間的流動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題，發(fā)展了微分方程漸近理論的研究．60年代開(kāi)始，研究螺旋星系的密度波理論，解釋了許多天文現(xiàn)象．北京大學(xué)是我國(guó)的最高學(xué)府．20年代軍閥混戰(zhàn)時(shí)期，因經(jīng)費(fèi)嚴(yán)重不足，學(xué)術(shù)水平不及由美國(guó)退回庚款資助的清華大學(xué)數(shù)學(xué)系．進(jìn)入30年代，以美國(guó)退回庚款為基礎(chǔ)的中華文化教育基金會(huì)也撥款資助北京大學(xué)，更由于江澤涵(1902 )在哈佛大學(xué)獲博士學(xué)位后加盟北大，程毓淮(1910 )獲德國(guó)哥廷根大學(xué)博士學(xué)位后來(lái)北大任教，陣容漸強(qiáng)．學(xué)生中有后來(lái)成名的樊畿(1916 )，王湘浩(1915 1993)等．三十年代的中國(guó)青年數(shù)學(xué)家還有曾炯之(1897 1943)，他在哥廷根大學(xué)跟隨杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家諾特(E．Noether)研究代數(shù)，1933年完成關(guān)于 函數(shù)域上可除代數(shù) 的兩個(gè)基本定理，后又建立了擬代數(shù)封閉域?qū)哟握?，蜚聲中外．抗日?zhàn)爭(zhēng)時(shí)期因貧病在西昌去世．周煒良(1911 )為清末民初數(shù)學(xué)家周達(dá)之子，家庭富有，在美國(guó)芝加哥大學(xué)畢業(yè)后，轉(zhuǎn)到德國(guó)萊比錫大學(xué)，在范 德 瓦爾登(Van der Waerden)指導(dǎo)下研究代數(shù)幾何，于1936年獲博士學(xué)位，一系列以他名字命名的 周坐標(biāo) 周形式 、 周定理 周引理 ，使他享有盛譽(yù)．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利后去美國(guó)約翰 霍普金斯大學(xué)任教，直至退休．1935年，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)在上海成立．公推胡敦復(fù)(1886 1978)為首屆董事會(huì)主席．會(huì)上議決出版兩種雜志．一種是發(fā)表學(xué)術(shù)論文的《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》，后來(lái)發(fā)展成今日的《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》，一種是普及性的《數(shù)學(xué)雜志》，相當(dāng)于今之《數(shù)學(xué)通報(bào)》．中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的成立，標(biāo)志中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)建立，并將很快走向成熟．最早訪問(wèn)中國(guó)的著名數(shù)學(xué)家是羅素(B．A．W．Russel)，他于1920年8月到達(dá)上海，在全國(guó)各地講演數(shù)理邏輯，由趙元任做翻譯，于次年7月離去．法國(guó)數(shù)學(xué)家班勒衛(wèi)(P．Painleve)和波萊爾(E．Bovel)也在20年代未以政治家身份訪華．1932年，德國(guó)幾何學(xué)家布拉希開(kāi)(W．Blaschk)到北京大學(xué)講學(xué)，陳省身、吳大任等受益很多．1932 1934年間，漢堡大學(xué)年輕的拓?fù)鋵W(xué)家斯披涅兒(E．Sperner)也在北京大學(xué)講課．1934年4月，美國(guó)著名的常微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)專(zhuān)家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)也到過(guò)北大．此后來(lái)華的是美國(guó)哈佛大學(xué)教授奧斯古德(W．F．Osgood)，他在北京大學(xué)講授函數(shù)論(1932 1934)．控制論創(chuàng)始人，美國(guó)數(shù)學(xué)家維納(N．Wiener)來(lái)清華大學(xué)電機(jī)系訪問(wèn)，與李郁榮(1904 )合作研究電網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)在數(shù)學(xué)系講授傅里葉變換理論等．維納于1936年去挪威奧斯陸參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，注明他是清華大學(xué)的代表．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)開(kāi)始之后，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新時(shí)期．一方面是異常清苦的戰(zhàn)時(shí)生活，與外界隔絕的學(xué)術(shù)環(huán)境；另一方面則是無(wú)比高漲的研究熱情，碩果累累的科學(xué)成就．在西南聯(lián)合大學(xué)(北大、清華、南開(kāi))的數(shù)學(xué)系，姜立夫、楊武之、江澤涵等領(lǐng)導(dǎo)人正值中年，而剛滿(mǎn)30歲的年輕教授如華羅庚、陳省身以及許寶騄等，都已達(dá)到當(dāng)時(shí)世界的先進(jìn)水平．例如華羅庚的《堆壘素?cái)?shù)論》，陳省身證明高斯 邦內(nèi)公式，許寶騄發(fā)展矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，都產(chǎn)生于這一時(shí)期．他們培養(yǎng)的學(xué)生，如王憲鐘、嚴(yán)志達(dá)、吳光磊、王浩、鐘開(kāi)萊，日后都成為著名數(shù)學(xué)家．與此同時(shí)，位于貴州湄潭的浙江大學(xué)，也由陳建功、蘇步青帶領(lǐng)，造就出程民德、熊全治、白正國(guó)、楊忠道等一代數(shù)學(xué)學(xué)者．如果說(shuō)，在20年代，中國(guó)創(chuàng)辦的大學(xué)已能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)學(xué)士，那么在30年代的北大、清華、浙大等名校，已能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)碩士，而到抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的40年代，從教員的學(xué)術(shù)水準(zhǔn)，開(kāi)設(shè)的課程以及學(xué)生的成績(jī)來(lái)看，應(yīng)該說(shuō)完全能培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)博士了．從1917年中國(guó)人第一次獲得數(shù)學(xué)博士，到實(shí)際上具備培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)博士的水平，前后不過(guò)20余年的時(shí)間，發(fā)展不可謂不快．1944年，中央研究院決定成立數(shù)學(xué)研究所，由姜立夫任籌備主任．不久，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利，于1946年在上海正式成立數(shù)學(xué)研究所，由姜立夫任所長(zhǎng)．因姜立夫出國(guó)考察，遂由陳省身代理所長(zhǎng)．陳省身辦所的宗旨是培養(yǎng)青年人，首先讓他們研修拓?fù)鋵W(xué)，以便迅速達(dá)到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿．這時(shí)在所內(nèi)工作的研究人員中，有王憲鐘、胡世楨、李華宗等已獲博士學(xué)位的年輕數(shù)學(xué)家，更有吳文俊、廖山濤、陳國(guó)才、楊忠道、葉彥謙、曹錫華、張素誠(chéng)、孫以豐、路見(jiàn)可、陳杰等剛從大學(xué)畢業(yè)不久的學(xué)生．1949年成立中華人民共和國(guó)之后，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)有了長(zhǎng)足的發(fā)展．原來(lái)已有建樹(shù)的解析數(shù)論、三角級(jí)數(shù)論、射影微分幾何等學(xué)科繼續(xù)發(fā)展．在全面學(xué)習(xí)蘇聯(lián)的50年代，與國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展有密切關(guān)系的微分方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)等學(xué)科獲得應(yīng)有的重視，使整個(gè)數(shù)學(xué)獲得全面和均衡地進(jìn)步．高等學(xué)校數(shù)學(xué)系大規(guī)模招生，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)方式培養(yǎng)出大批訓(xùn)練有素的數(shù)學(xué)工作者．在這一時(shí)期內(nèi)，作出重要貢獻(xiàn)的有吳文俊(1919 )．他于1940年在交通大學(xué)畢業(yè)，后去法國(guó)留學(xué)，獲博士學(xué)位．他在拓?fù)鋵W(xué)方面的主要貢獻(xiàn)有關(guān)于施蒂費(fèi)爾 惠特尼(Stiefel-Whit-ney)示性類(lèi)的吳(文俊)公式，吳(文俊)示性類(lèi)，以及關(guān)于示嵌類(lèi)的研究．70年代起，吳文俊提出了使數(shù)學(xué)機(jī)械化的綱領(lǐng)，其一個(gè)自然的應(yīng)用是定理的機(jī)器證明，這項(xiàng)工作現(xiàn)在正處于急劇發(fā)展中．吳文俊的數(shù)學(xué)機(jī)械化思想來(lái)源于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)．因此，吳文俊的工作顯示出中國(guó)古算法與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的有機(jī)結(jié)合，具有濃烈的中國(guó)特色．50年代以來(lái)的一些青年數(shù)學(xué)家的工作值得注意，如陳景潤(rùn)、王元、潘承洞在數(shù)論方面的研究，特別是對(duì)哥德巴赫猜想的重大推進(jìn)．楊樂(lè)、張廣厚關(guān)于亞純函數(shù)值分布論的研究，谷超豪在微分幾何與非線性偏微分方程方面的研究，夏道行關(guān)于線性算子譜論和無(wú)限維空間上調(diào)和分析的研究，陸啟鏗、鐘家慶在多復(fù)變函數(shù)論與微分幾何方面的研究，都有國(guó)際水平的成果．80年代以來(lái)，還有姜伯駒(不動(dòng)點(diǎn)理論)、張恭慶(臨界點(diǎn)理論)、陸家羲(斯坦納三元素)等人的工作，十分優(yōu)秀．廖山濤在微分動(dòng)力系統(tǒng)研究上作出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)．中國(guó)數(shù)學(xué)家參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(International Cong-ress of Mathematics)始自1932年．北京數(shù)學(xué)物理學(xué)會(huì)的熊慶來(lái)和上海交通大學(xué)的許國(guó)保作為中國(guó)代表參加了那年在蘇黎世舉行的會(huì)議．中山大學(xué)的劉俊賢則是參加1936年奧斯陸會(huì)議的唯一中國(guó)代表(不計(jì)算維納代表清華大學(xué)與會(huì))．此后由于代表權(quán)問(wèn)題，中國(guó)大陸一直未派人與會(huì)．華羅庚、陳景潤(rùn)收到過(guò)到大會(huì)作報(bào)告的邀請(qǐng)．1983年，中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)家馮康被邀在華沙大會(huì)上作45分鐘的報(bào)告，都因代表權(quán)問(wèn)題未能出席．1986年，中國(guó)在國(guó)際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟(IMU)的代表權(quán)問(wèn)題得到解決：中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)有三票投票權(quán)，位于中國(guó)臺(tái)北的數(shù)學(xué)會(huì)有兩票投票權(quán)．這年在美國(guó)加州伯克萊舉行的大會(huì)上，吳文俊作了45鐘報(bào)告(關(guān)于中國(guó)數(shù)學(xué)史)．1990年在東京舉行國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，中國(guó)有65名代表與會(huì)(不包括臺(tái)北)．80年代以來(lái)，中國(guó)數(shù)學(xué)研究發(fā)展很快．從原來(lái)的中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所又分立出應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所和系統(tǒng)科學(xué)研究所．由陳省身?yè)?dān)任所長(zhǎng)的南開(kāi)數(shù)學(xué)研究所向全國(guó)開(kāi)放，發(fā)揮了獨(dú)特的作用．北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)等著名學(xué)府也成立了數(shù)學(xué)研究所．這些研究機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)研究成果正在逐漸接近國(guó)際水平．到1988年為止，在國(guó)外出版的中國(guó)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)著作已有43種．《數(shù)學(xué)年刊》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》都相繼出版了英文版，在國(guó)外的影響日增，1990年收入世界數(shù)學(xué)家名錄的中國(guó)學(xué)者有927名．先后在中國(guó)國(guó)內(nèi)設(shè)立的數(shù)學(xué)最高獎(jiǎng)有陳省身獎(jiǎng)和華羅庚獎(jiǎng)．1990年起，為了支持?jǐn)?shù)學(xué)家率先趕上世界先進(jìn)水平的共同愿望，除了正常的自然科學(xué)基金項(xiàng)目之外，又增設(shè)了專(zhuān)項(xiàng)的天元數(shù)學(xué)基金．這一措施也大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)研究水平的提高．在中國(guó)的臺(tái)灣省，中央研究院的數(shù)學(xué)研究所是主要的數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)，曾由周鴻經(jīng)、樊畿等多人主持過(guò)．臺(tái)灣大學(xué)集中了許多著名的數(shù)學(xué)教授．早期有施拱星、許振榮等．臺(tái)灣學(xué)生在美國(guó)獲博士學(xué)位并在美國(guó)各大學(xué)數(shù)學(xué)系任教的學(xué)者很多，有較大影響的有項(xiàng)武忠、項(xiàng)武義等人．香港地區(qū)的數(shù)學(xué)教育在第二次世界大戰(zhàn)之前沒(méi)有多少力量．戰(zhàn)后最有影響的是幾何學(xué)家黃用諏?zhuān)麖?948年起任香港大學(xué)教授，又擔(dān)任過(guò)教務(wù)長(zhǎng)和副校長(zhǎng)．從香港大學(xué)和中文大學(xué)培養(yǎng)出一批有世界影響的數(shù)學(xué)家，其中包括榮獲菲爾茲獎(jiǎng)的丘成桐，以及肖蔭堂、陳紹遠(yuǎn)等著名數(shù)學(xué)家．
