2016江蘇部隊文職考試行測A類試卷首次考語句連貫題（3）-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2016-04-15 14:17:42三、數(shù)量關(guān)系2016江蘇公務(wù)員考試行測(A類)數(shù)量關(guān)系部分結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，數(shù)字推理穩(wěn)定為5道，數(shù)學(xué)運算穩(wěn)定為10道。從考點來看，數(shù)字推理主要考查基本數(shù)列及其變式，解題時從分析題干整體趨勢和數(shù)字特征入手，合理運用各種解題方法。數(shù)學(xué)運算仍以常規(guī)題型為主，包括行程問題、工程問題、容斥問題、幾何問題、日期問題、概率問題等。從考查難度來看，數(shù)字推理難度一般，數(shù)學(xué)運算較去年難度有所減小，考生只需掌握基礎(chǔ)知識和核心公式即可解決。A.0.12 B.0.50 C.0.88 D.0.89
解放軍文職招聘考試希臘后期的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:18:52希臘后期的數(shù)學(xué)希臘后期的數(shù)學(xué)一般指公元前146年羅馬滅亡希臘以后的數(shù)學(xué)．由此，希臘本土的文化逐漸退居次要地位，科學(xué)中心開始轉(zhuǎn)移到埃及的亞歷山大里亞城，成為新的希臘文化淵藪．由于亞歷山大里亞的學(xué)者繼續(xù)不斷地發(fā)明、創(chuàng)造，推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展．以下幾位數(shù)學(xué)家的工作是值得提及的．在希臘后期，雖然對歐幾里得《幾何原本》沒有作出根本性改革，但也作了很多添補工作．對此，首先作出貢獻的是海倫．海倫(Heron，約公元60年) 著《關(guān)于測量儀》(Diopt－ra)一書，其中提出了確定羅馬和亞歷山大之間的時差問題的一個較復(fù)雜的方法，并用這種儀器觀測兩地的月食．海倫的著作主要是由幾何學(xué)、應(yīng)用幾何學(xué)、應(yīng)用機械學(xué)合編成的一部百科全書性質(zhì)的書籍---《幾何》．在這部著作中，闡述了象測量儀一類器具的使用方法．他還注釋了歐幾里得的著作以及撰寫有關(guān)面積和體積的書籍，但其名著是《測量術(shù)》．這部著作分三篇，第一篇是面積的計算；第二篇是體積的計算；第三篇是解決面積和體積的有關(guān)比例問題．第一篇是最重要的篇章，其中給出已知三角形邊長，求三角形面積的公式，即 海倫公式 ．海倫是通過具體的三角形推出此公式的，首先假定三角形的邊長分別是13，14，15．海倫給出二種方法計算，其一是利用三角形的高來求面積，其二是不求出高，利用三邊求面積，他按如下步驟計算．(1)將三邊長相加 13＋14＋15＝42．(2)取和的一半 42 2=21．(4)求積、開方 21 8 7 6＝7056，此三角形的面積是84．如上步驟，可寫成如下公式：(△表示三角形面積，a、b、c為三邊長，這就是著名的海倫公式．德國數(shù)學(xué)家康托爾(M．B．Cantor， 1829---1920)曾指出，上述公式在海倫的原典中有明確記載．但是，根據(jù)阿拉伯文獻記載，阿基米德已經(jīng)知道這個公式，是海倫利用三角形的內(nèi)切圓征明了此公式．三角學(xué)在這個時期有了進一步發(fā)展．雖然人們對這門學(xué)科本身的興趣在衰退，但逐漸成了其他學(xué)科，尤其是天文學(xué)的輔助學(xué)科．三角學(xué)這門科學(xué)是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的．很可能埃及人早已發(fā)現(xiàn)三角形的不同元素之間具有某種關(guān)聯(lián)，但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關(guān)系的，仍是希臘人．三角學(xué)在西方的最早的奠基人是希臘的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希臘的天文學(xué)家．為了天文觀測的需要，作了一個和現(xiàn)今三角函數(shù)表相仿的 弦表 ，相當(dāng)于現(xiàn)在圓心角一半的正弦線的兩倍，可惜這份表沒有保存下來．繼承和發(fā)展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文學(xué)的集大成者托勒密(ptolemy，約100---約170)．他撰寫一部天文學(xué)著作，原名為《數(shù)學(xué)匯編》，后來譯成阿拉伯文，再轉(zhuǎn)譯成拉丁文，變成Almagest的書名，意為《天文集》，這是一部主張 日心說 的著作．托勒密在天文學(xué)上的研究，試圖建立能精確確定某些關(guān)系的規(guī)則，正是為了改善天文計算為目的，三角學(xué)才應(yīng)運而生．因此，球面三角學(xué)的研究先于平面三角學(xué)．長度．由于弧的大小是它所對之角的量度，所以，顯然在圖3．21中弦2 (即在弧上對著角2 所張弦的長度)和我們所說的sin 之間存在等價可以推測，托勒密的方法相當(dāng)復(fù)雜，不妨簡述如下．托勒密首先認識到，確定不同角度的弦相當(dāng)于如何設(shè)法解決用圓的直徑長度表示圓內(nèi)接正多邊形的邊長問題．值此，他把圓周分成360等份，即360度．直徑則被分成120等份，使用60進位分法，實際上也推廣到分數(shù)，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名稱．這樣就能用直徑上許多等份來表示圓弧上對任一圓心角所張弦的長度．這乃是角的弦．托勒密為擴充他的表，利用了人們熟知的關(guān)系式．從圖3．22可以看出：(chord2 )2＋ chord(180 -2 )2＝AC2＋AB2＝BC2，即1202．sin2 ＋cos2 ＝1．托勒密進一步建立chord( － )的表示式，即 sin( － )公式，托勒密的具體作法可表述為：在直徑AD上作一半圓，B和C是半圓上的兩點，如圖3．23．顯然有AC=chord l，AB＝chord 2，BC＝chord( 1－ 2)，BD=chord(180 － 2)，CD=chord(180 － 1)．從定理表達式AC BD=BC AD+ AB CD或 BC AD＝AC BD- AB CD亦即[chord( - )] [chord180 ]＝(chord 1) [chord(180 - 2)]－[chord(180 － 1)]，可得出sin(A-B)的形式．為了確立半角公式，托勒密以AB為直徑作一圓，畫出兩相等的弦AD CB＋CD AB＝AC BD，即 AD2＋CD AB＝BD2=AB2-AD2．因此 2AD2＝AB2-AB CD，利用以上公式，托勒密求出有關(guān)角的正弦值，進行造表．在第二篇中，托勒密研究了與地球球面有關(guān)的知識．在第三、四、五篇中，利用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說．在第四篇中，提出了測量學(xué)的三點問題的解：確定這樣的點，使這一點與給定的三個點中每兩點的連線所成之角分別為給定的角．在第六篇中，提出了日、月蝕的理論．在第七、八篇中，含有1028個恒星目錄．其余幾篇是研究行星的．《天文集》一書，在哥白尼(N．Copernicus，1473---1543)之名著《關(guān)于天體的運轉(zhuǎn)》(Derevolutionibusorbium Caelestium)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)著作．托勒密曾懷疑過歐幾里得平行公設(shè)，試圖利用《幾何原本》中的其它公理和公設(shè)推出第五公設(shè)，使之去掉歐幾里得的一系列原始假定，但未能成功．幾乎在同一時期，希臘學(xué)者門納勞斯(Menelaus of Ale－xandria，進一步研究了球面三角，并著《球面論》(Sphaeri－ca)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)．在托勒密逝世之后，希臘的黃金時代已經(jīng)過去，希臘數(shù)學(xué)開始走下坡路．正是在此時，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的帕普斯(Pappus， 300？-350？)和丟番圖(Diophantus)，他們的工作推動了希臘后期的數(shù)學(xué)．帕普斯的主要數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)匯編》(MathaematicalCollections)，此書共8篇，只第一、二篇的一部分保存下來了，其余部分都已失傳．《數(shù)學(xué)匯編》一書統(tǒng)一了希臘早期幾何學(xué)知識，開始進一步探求解決古代三個著名幾何難題的方法，并做重要補充，其中包括對立體幾何、高次平面曲線和等周問題的詳盡處理．按照解題所需的曲線性質(zhì)，帕普斯進行了分類．他說： 我們已考慮過三種幾何學(xué)問題．即：平面問題，立體問題，線性問題．那些可以用直線和圓周來解決的問題，都稱為平面問題，因為用來解決這類問題的線的起源是在平面內(nèi)．那些要靠一條或一條以上的圓錐曲線來解決的問題稱為立體問題，因為在這些問題的作圖中要用到立體圖形的面，例如圓錐曲線．還有第三類問題：它們叫做線性問題，因為在這些問題的作圖中必須用到不同于剛才所述的線，它們有著不同的并且更復(fù)雜的起源，或者它們是由于運動而產(chǎn)生的．屬于這類線的是螺旋線或螺線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線等等．《數(shù)學(xué)匯編》中含有兩個重要等周問題．即：(1)在所有周長相同的圓弓形中，以半圓為最大．(2)在所有表面積相等的立體中，以面數(shù)最多的立體為最大．這部著作中，記載著著名的 帕普斯問題 ，即： 若從任一點作直線與五條具有給定位置的直線在各個給定角度上相交，并且其中三條直線所圍之長方體的體積與其余兩條直線和一給定直線所圍之長方體的體積的比是給定的，那么這一點仍將落在給定位置的曲線上． 笛卡兒曾試圖用分析方法解決這一問題，導(dǎo)致其發(fā)現(xiàn)了解析幾何學(xué)的原理．《數(shù)學(xué)匯編》中的第七篇，含有一著名的定理，現(xiàn)稱古爾丁定理．因為，古爾丁(P．Guldin，1577---1643)重新獨立發(fā)現(xiàn)了這一定理，并給出證明．這個定理是，如果一平面閉曲線圖形繞曲線之外但在同一平面內(nèi)的一軸轉(zhuǎn)動一周，則旋轉(zhuǎn)出來的形體的體積等于曲面面積乘以其重心所轉(zhuǎn)過的圓周．這是有普遍意義的結(jié)果，帕普斯沒有給出定理的證明．第八篇主要研討力學(xué)，他把物體的重心定義為物體內(nèi)(并不一定屬于物體)的一點，若在那一點把它吊起來，就能使它靜止，而不管吊放的位置如何．然后他說明了用何種數(shù)學(xué)方法來確定這個點．帕普斯還討論了物體沿斜面移動的問題．《數(shù)學(xué)匯編》的水平和價值雖然不能與希臘黃金時代的名著相比，但是，它是在希臘數(shù)學(xué)衰落時的著作，從而展現(xiàn)出它的特殊意義．丟番圖的一生，童年生活占1/6，青少年的時代占1/12，然后獨身生活占1/7．結(jié)婚后過了5年生了一個兒子，兒子比父親早4年而亡，只活了父親年齡的一半 ．可由一元一次方程，算出丟番圖的一生年齡．即：可得：x=84．丟番圖撰寫過三部書，其中最著名的是《算術(shù)》(Arithmetica)，另外兩部，有一部失傳，還有一部是《多角數(shù)》(Depolygonis numeris)．根據(jù)《算術(shù)》序文記載，這部著作共有13卷，現(xiàn)存只有卷．此書共解決了189個問題．主要闡述數(shù)的理論，但大部分是解決代數(shù)問題，這種脫離幾何范疇，研究實際問題的方法，為希臘數(shù)學(xué)增添了異彩．丟番圖的《算術(shù)》曾被人譽為 過渡代數(shù) ，尤其是把數(shù)學(xué)從純粹語言敘述，轉(zhuǎn)為借助于簡單的詞和某些符號來表達．例如：△Y= △υ s 表示平方，s2KY＝Kυ os 表示立方，s3KYK＝Kυ кυ os 表示立方的立方，s6丟番圖還給出了負數(shù)冪s－1，s－2， 的表示法，對于各數(shù)的和，把各符號簡單地排列在一起．如上，他不寫12，而是寫12個單位．花拉子米也有類似的寫法，丟番圖曾給出減法用的符號，用來表示．關(guān)于乘法、相等、大于、小于符號的建立，主要是阿拉伯人的工作．因此，丟番圖的《算術(shù)》基本上還是屬于文字敘述階段．丟番圖的代數(shù)還是原始的，但有了一定的簡化符號．丟番圖曾給出求解一次方程的方法，即： 若方程兩邊的未知數(shù)的冪相同，但是系數(shù)不同，應(yīng)該由等量減去等量，直到得出含未知數(shù)的一項等于某個數(shù)為止．若在方程的一邊或兩邊有減項，那么應(yīng)當(dāng)向兩邊加上這個項，使兩邊只有加項．然后需要再一次等量減等量，直到得出未知數(shù)等于某個數(shù)為止． 總之，丟番圖施用了 合并同類項 ， 移項 ， 兩邊除以未知數(shù)的系數(shù) ．但他盡量避免除法運算，而用重復(fù)的減法代替．至于二次方程，他總是算出一個正根，其解法沒有保存下來，不可詳考．丟番圖在解ax2＋c＝y(tǒng)2，bx＋c＝y(tǒng)2等類型的不定方程時顯示出了他的卓越才能．每題都用其特殊方法解決，沒有給出一般解法，即使類型相同的題目，解法也不同．正如德國數(shù)學(xué)史家韓克爾(Hermann Hankel， 1839---1873)說： 近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖100個題后，去解101個題，仍然感到困難．丟番圖也曾以具體的實例研究不定方程，在《算術(shù)》第二卷問題9， 把已知平方數(shù)分成兩個平方數(shù)的和 ，并把16分成兩個有理數(shù)的平方足方程：x2＋y2＝z2的有理數(shù)x，y，z．大數(shù)學(xué)家費馬就是看了丟番圖的不定方程，而提出所謂 費馬大定理 的．丟番圖也曾解過二個或二個以上未知數(shù)的聯(lián)立一次方程組．總之，丟番圖是把新思想引入數(shù)學(xué)的亞歷山大數(shù)學(xué)家的最后代表．他在代數(shù)方面做出了重要貢獻，被譽為代數(shù)學(xué)的鼻祖，人們用 解方程的形式，刻畫他的年齡 ，這亦是一種后世的深刻懷念吧！前面已經(jīng)提到希臘數(shù)學(xué)衰退，在公元最初幾個世紀(jì)里一直持續(xù)著．當(dāng)丟番圖去世后，到了公元5世紀(jì)時，希臘數(shù)學(xué)到達了衰落的頂點．當(dāng)時羅馬已經(jīng)成為世界之王，她的領(lǐng)土從印度河一直伸展到直布羅陀海峽，從尼羅河直到不列顛海岸．由于羅馬人不關(guān)心智慧的追求，只需要食物和娛樂(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不關(guān)心，因此，羅馬人在頭幾個世紀(jì)里，他們對數(shù)學(xué)或科學(xué)的發(fā)展貢獻很?。魅隽_在他的塔斯克來尼恩講話(Tusculanian Oratio ns)中曾為這個事實而痛惜．他感嘆道： 希臘人給予幾何學(xué)家以最高的榮譽；因此他們中間沒有什么東西比數(shù)學(xué)發(fā)展得更光輝燦爛了．但是我們卻把這門藝術(shù)局限于測量和計算的應(yīng)用方面．在早期的基督教學(xué)者中，也只有少數(shù)幾個對數(shù)學(xué)或科學(xué)有點興趣．強烈的宗教熱忱，是不鼓勵他們對世俗學(xué)問追求和探索的．但是，強盛的羅馬帝國很快地瓦解，隨著凱撒城在公元455年的陷落，羅馬的統(tǒng)治權(quán)實際上已告結(jié)束．在此40年前，即公元415年，亞歷山大里亞的著名學(xué)者賽翁之女希帕蒂亞(Hypatia，約370---415)慘遭一群基督教暴徒殺害．她是古希臘最后一位數(shù)學(xué)家，曾協(xié)助父親完成對歐幾里得《幾何原本》的評注，還評注過丟番圖的《算術(shù)》和阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》．她的死標(biāo)志著通常被稱為黑暗時期的那段荒蕪時期的開始．希臘古代文明歷史結(jié)束了，在隨后的3個世紀(jì)左右，歐洲一直處于科學(xué)文化的衰退之中，即黑暗時期．
解放軍文職招聘考試意大利代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:30:08代數(shù)學(xué)1494年，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(L．Pacioli，1445 1509)的《算術(shù)、幾何、比與比例全書》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是繼斐波那契L．Fibonacci)《算盤書》之后第一部內(nèi)容全面的數(shù)學(xué)書，包括算術(shù)、代數(shù)、幾何與簿記．書中采用了印度 阿拉伯?dāng)?shù)碼和許多數(shù)學(xué)符號，對16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要影響．尤其值得提到的是，書中討論了三次方程．雖然沒有成功，而得出 高于二次的方程不可解 的錯誤結(jié)論，但正是書中的討論引導(dǎo)了數(shù)學(xué)家們的進一步研究．16世紀(jì)的一些杰出數(shù)學(xué)家并不相信帕喬利的結(jié)論，他們孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．實際上，16世紀(jì)歐洲代數(shù)的發(fā)展，便突出地表現(xiàn)為三次和四次方程解法的發(fā)現(xiàn)．在此期間，意大利的另一位數(shù)學(xué)家卡爾達諾(G．Cardano，1501 1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他懇切要求塔爾塔利亞把解法告訴他，并發(fā)誓保密，塔爾塔利亞滿足了他的要求，不過沒有證明．卡爾達諾克服了很大困難，找到了證明．他大概覺得沒有保密的必要，便在1545年發(fā)表的《大術(shù)》(Ars(G．Cardano1501 1576)Magna)中公布了三次方程解法．盡管卡爾達諾寫明了方法的來源，但失信行為還是激怒了塔爾塔利亞，受到他的強烈譴責(zé)．由于《大術(shù)》的影響，三次方程解法被稱為 卡爾達諾公式 或 卡當(dāng)公式 流傳開來．卡爾達諾公布的解法可簡述如下：方程x3＋px=q(p，q為正數(shù))． (1)卡爾達諾以方程x3＋6x＝20為例說明這一方法，他得到的解是x=過同樣的程序得到他還求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q為正數(shù))的公式解，就是說他已經(jīng)能解任何形式的三次方程了．毫無疑問，這里包含了塔爾塔利亞的工作．但需要說明的是，他們像當(dāng)時其他數(shù)學(xué)家一樣，解方程只求正根，所以解法還是不完善的．管會受到多大的良心的責(zé)備 ，把這兩個根相乘，會得25－(-15)＝40．于是他寫道： 算術(shù)就是這樣神秘地搞下去的，它的目標(biāo)，正如常言所說，是又精致又不中用的． 他既承認負數(shù)有平方根，又懷疑它的合法性，因此稱它為 詭變量 ．但不管怎樣，虛數(shù)畢竟在卡爾達諾那里誕生了．他還進一步指出，方程(指實系數(shù)方程)的虛根是成對出現(xiàn)的．三次方程成功地解出之后，卡爾達諾的學(xué)生費拉里(L．Ferrari，1522 1565)受到啟發(fā)，很快解出了四次方程，解法也發(fā)表在卡爾達諾《大術(shù)》中．下面用現(xiàn)代符號表出．設(shè)方程為x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移項，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右邊為x的二次三項式，若判別式為0，則可配成x的完全平方．解這個三次方程，設(shè)它的一個根為y0，代入(5)，由于兩邊都是x的完全平方形式，取平方根，即得解這兩個關(guān)于x的二次方程，便可得到(4)的四個根．顯然，若把(6)的其他根代入(5)，會得出不同的方程，但結(jié)果是一樣的．在卡爾達諾之后，韋達對三次方程和四次方程解法作了進一步改進．1591年發(fā)表的《分析術(shù)引論》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是這樣解三次方程的：對于 x3+bx2+cx+d=0，結(jié)果得到簡約三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡爾達諾一樣，只考慮方程的正根．韋達不僅研究方程解法，還努力尋找方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在《論方程的識別與修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，寫于1591年，出版于1615年)中，他提出了四個定理，后人為了紀(jì)念這位大數(shù)學(xué)家，稱之為韋達定理．二次方程的韋達定理是我們經(jīng)常使用的，就對方程理論作出重要貢獻的另一位數(shù)學(xué)家是笛卡兒．他承認方程的負根，并研究了多項式方程的正根和負根個數(shù)的規(guī)律，得到著名的笛卡兒符號法則：多項式方程f(x)=0的正根個數(shù)等于方程系數(shù)的變號次數(shù)，或比此數(shù)少一正偶數(shù)；負根個數(shù)等于f(-x)的系數(shù)的變號次數(shù)，或少于此數(shù)一個正偶數(shù)．在這里，m重根是看作m個根的．實際上，正根個數(shù)和負根個數(shù)都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系數(shù)變號次數(shù)，p為0，1，2 ，p的取值要使n－2p非負．笛卡兒還研究了方程的根的個數(shù)同方程次數(shù)的關(guān)系，認為n次方程至多有n個根．在討論三次方程時，他得到如下結(jié)論：若一有理系數(shù)三次方程有一個有理根，則此方程可表為有理系數(shù)因子的乘積．他的另一項重要成果是現(xiàn)今所謂因子定理：f(x)能為(x-a)整除(a＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a是f(x)＝0的一個根，所有這些成就都是在笛卡兒《方法論》(DiscoursdelaM thod，1637)的附錄《幾何》(LaG ometrie)中出現(xiàn)的．除了方程以外，二項式定理的發(fā)現(xiàn)也在代數(shù)史上占有一席之地．實際上，指數(shù)為正整數(shù)的二項式定理(即(a＋b)n在n為正整數(shù)時的展開式)曾被不同民族多次獨立發(fā)現(xiàn)．11世紀(jì)的中國人賈憲和15世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形這個三角形特點是，左右兩行的數(shù)都是1，中間每個數(shù)為肩上兩數(shù)之和．在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯(P．Apianus，1495 1552)最早給出這個三角形(1527年)，1544年左右，施蒂費爾引入 二項式系數(shù) 這個名稱，并指出怎樣從(1＋a)n-1來計算(1＋a)n．1653年，帕斯卡寫成《算術(shù)三角形》(Trait dutrianglearithm tique)一書，從上述三角形出發(fā)，詳細討論了二項展開式的系數(shù)．該書于1665年出版后，影響很大．由于帕斯卡在數(shù)學(xué)界的威望，人們習(xí)慣地稱此三角形為帕斯卡三角形．實際上，他的功績主要是通過組合公式給出了二項式系數(shù)，即(a+b)n牛頓(T．Newton，1643 1727)進一步認識到，這個公式不僅適用于指數(shù)為正整數(shù)的二項展開式，而且當(dāng)指數(shù)為分數(shù)或負數(shù)時，同樣適用．他把二項式定理推廣到分指數(shù)和負指數(shù)的情形，指出這三種形式的二項展開式第1項都是1，后面各項系數(shù)及字母指數(shù)也具有相同的變化規(guī)律：設(shè)n，m為正整數(shù)，則如果括號里是a-b，則第k＋1項的符號由(－1)k決定．它們的區(qū)別只牛頓的這些研究成果，是在17世紀(jì)60年代取得的，但直到1676年6月給萊布尼茨的信中，才首次透露．另外，萊布尼茨和日本的關(guān)孝和(1642 1708)各自獨立地發(fā)明了行列式，并建立起關(guān)于行列式的初步理論，這也是17世紀(jì)的代數(shù)成果之一．關(guān)孝和是日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 和算的奠基人．他的貢獻還有：發(fā)現(xiàn)方程正負根存在的條件及與牛頓迭代法類似的解法，給出圓的徑、弧、矢間關(guān)系的無窮級數(shù)表達式，等等．
